图形学基础—光线追踪(Whitted-Style)

光线追踪(Ray tracing)，是有别于光栅化渲染的另一种渲染方式。

在光栅化渲染中，计算着色点的颜色通常只会考虑着色点本身，因此想要在光栅化渲染中做出一些全局效果（比如全局光照）是非常麻烦的。

同时光栅化渲染会用到很多近似的方法，因此得到的渲染结果也是一个近似的结果。

而光线追踪是一种全局的渲染方式，能够得到一个准确的渲染结果，但代价是这种渲染方式十分耗时。

光线追踪的原理

光线追踪顾名思义，核心就是追踪光线在场景中的弹射。

所以首先，需要对光线做一些定义：

• 光线一定沿着直线传播
• 光线之间无法碰撞
• 光线路径可逆，即从A发出的到B的光线，一定也可以从B发出到A（中途可发生反射和折射）

在现实生活中，我们能看到各种物体，是因为光源发出的光线经过各种反射折射，最终进入我们的眼睛。

通过上面我们对光线的定义，其实也可以理解成我们的眼睛发出“感知光线”，这些”感知光线“在场景中经过反射折射最终连接到光源上。

在早期欧洲科学启蒙阶段，很多学者也是这么认为的

事实上光线追踪也正是这么做的。

Whitted-Style 光线追踪

Whitted-Style 光线追踪是 Turner Whitted 在 1980 年提出的一种光线追踪算法。该算法是光线追踪中最经典的实例之一，本质上是一种递归的算法。

该算法的实现步骤如下：

第一步 Ray Casting

光线追踪的第一步是要向场景中投射所谓的“感知光线”。

从相机位置连接近平面上每一个像素点的中心，向场景投射光线，并计算光线与场景物体的交点。

当然一般情况下，光线会在场景中产生多个交点，考虑到遮挡关系，我们只记录最近的交点。

找到了最近的交点之后，连接该交点和光源，判断是否有其他的物体在这条线段之间。如果有则该点在阴影里。如果没有，则可以利用着色模型（如 phong 模型）计算该点的像素颜色。

通过遍历近平面上所有的像素点就能得到一张完整的图像。如果光线追踪进行到这里就停止的话，那么得到的图像仅仅只包含了局部的光照信息。

第二步 Recursive (Whitted-Style) Ray Tracing

假设在第一步 Ray Casting 中，光线打到了一个玻璃材质的物体上。那么此时这条光线会发生镜面反射现象。

除了镜面反射，光线在玻璃材质中还会发生折射现象。因此，原本的光线在该交点又分裂出两条光线，而这两条光线也可能会在场景中产生交点，进而发生反射或折射现象。

从图中可以发现，根据光路的可逆性，到达眼睛的光不仅仅只来自于当前光线在场景中的第一个交点。光线经过折射或反射后再与场景相交的点也会贡献一部分光。

也就是说，光线与场景每一个交点的颜色贡献都会来自于这几种类型：

• 直接光照
• 反射方向间接光
• 折射方向间接光（如果有折射）

下一步将这些所有交点与光源连接，称这些线为shadow rays（因为可以用来检测阴影），计算这些所有点的局部光照模型的结果，将其按照光线能量权重累加，最终得到近投平面上该像素点的颜色。而这就是一个考虑全局效果的光照模型了，因为不仅仅考虑了直接光源的贡献，还考虑各种折射与反射光线的贡献。

以上就是Whitted-Style光线追踪的整个过程了，还有额外几点要注意的 tips：

• 整体过程是一个递归的过程，因此需要一定的递归终止条件，比如说允许的最大反射或折射次数为10 (也就是最大的递归深度是10)。
• 光线在每次反射和折射之后都有能量损耗的，由系数决定，因此越往后的折射和反射光贡献的能量越小，这也是为什么在上文中提到根据光线能量权重求和。 假设反射系数为0.7，那么第一次反射折损30%，第二次反射折损1-（70%x70%），依次类推。
• 如果反射或折射光线没有碰撞到物体，一般直接返回一个背景色。

光线追踪涉及的技术问题

上面简单介绍了 Whitted-Style 光线追踪的实现原理，但是其中仍然涉及到很多技术上的细节没有说，所以接下来重点讲一下这部分东西。

Ray-Surface Intersection

在一切光线追踪操作之前，首先需要解决的一步是怎么求光线和物体表面的交点。

要做到这一点，我们需要把数学上的光线定义出来。在数学上只需要一个起点和一个方向(通常指单位向量)就能够定义一根光线。

光线上的任意一个点，都能用下面的式子表示:

$$r(t) = o + t\vec{d}$$

$$0 \leq t < \infty$$

光线与球的交点

三维空间中的球可以用下面的隐函数表示：

$$p:{(p-c)}^2 - R^2 = 0$$

其中，$p$ 表示球面上的一个点，$c$ 表示球心，$R$ 表示半径。

如果光线与球有交点，则球上的一点 $p$ 可以用光线 $o + td$ 表示，也就是:

$${(o + t\vec{d}-c)}^2 - R^2 = 0$$

经过化简可以得到：

$$A=\vec{d} \cdot \vec{d}$$

$$B=2(o-c) \cdot \vec{d}$$

$$C=(o - c) \cdot (o - c) - R^2$$

$$t=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

其中为了使得交点有意义，所以 $b^2 - 4ac$ 需要大于 0， 并且最终计算得到的 $t$ 需要大于0。

光线与其他隐式表面的交点

通过上面光线与球的交点，可以推广出光线与所有隐式表面的交点。

假设存在隐式表面为: $p:f(p) = 0$

则只需要求解方程: $p:f(o + t\vec{d}) = 0$ 中的 $t$ 即可。

光线与显式表面的交点

在实际的应用中，模型通常使用显式表面去表示，具体来说就是许许多多的三角形。光线与显式表面的求交，事实上就是光线与三角形的求交。

该问题可以分解成两步：

• 计算光线与三角形所在平面的交点
• 判断交点在不在三角形内

因此可以先将三角形所在的平面定义出来，平面的定义与光线类似，只需要一个点和一个方向即可。假设 $p^,$ 为平面上的一点， $n$ 为平面的法向量，则有：

$$p:(p - p^,) \cdot \vec{n} = 0$$

如果光线和平面有交点，那么就可以写成：

$$p:(o + t\vec{d} - p^,) \cdot \vec{n} = 0$$

化简可以得到：

$$t = \frac{(p^, - o) \cdot \vec{n}}{\vec{d} \cdot \vec{n}}$$

此时如果计算得到的 $t$ 在满足 $0 \leq t < \infty$ 则光线与平面有交点。

最后，再判断交点是否在三角形内即可，在图形学基础—向量中介绍了利用叉乘计算点是否在三角形内部的方法。

有没有一步就能知道光线和三角形交点的方法呢？答案是有的。

假设光线与三角形有交点，那么利用三角形的重心坐标去表示这个交点，就可以写成：

$$\vec{O} + t\vec{D} = (1 - b_1 - b_2)(\vec{P}_0 + b_1\vec{P}_1 + b_2\vec{P}_2)$$

上面的式子中，包含三个未知量 $t$ $b_1$ $b_2$，又由于在三维场景中，点都有三个分量，因此事实上，上面的式子可以分解成三个方程组，使用克莱姆法则求解线性方程组可以得到：

$$\begin{bmatrix} t \\ b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\vec{S}_1 \cdot \vec{E}_1} \begin{bmatrix} \vec{S}_2 \cdot \vec{E}_2 \\ \vec{S}_1 \cdot \vec{S} \\ \vec{S}_2 \cdot \vec{D} \end{bmatrix}$$

其中：

$$\vec{E}_1 = \vec{P}_1 - \vec{P}_0$$

$$\vec{E}_2 = \vec{P}_2 - \vec{P}_0$$

$$\vec{S} = \vec{O} - \vec{P}_0$$

$$\vec{S}_1 = \vec{D} \times \vec{E}_2$$

$$\vec{S}_2 = \vec{S} \times \vec{E}_1$$

当满足 $0 \leq t < \infty$ 并且 $0 < b_1 < 1$ , $0 < b_2 < 1$ , $0 < (1 - b_1 - b_2) < 1$ 时，光线与三角形有交点。

加速光线与表面求交

在显式表面中，可能包含很多很多的三角形，在判断光线与该物体求交时，计算量会比较大。如何简化计算是一件必要的事情。

Bounding Volumes

最常见的办法是使用包围盒进行加速计算。也就是先用一个简单的物体将其包围起来，使得当前模型一定在这个包围盒当中。光线先和这个包围盒求交，如果光线并不会与包围盒产生交点，则不再进行模型三角面的求交计算。

在三维中，最常用的包围盒就是一个长方体，而长方体可以理解成三组对面的交集。

并且在实际应用中，包围盒通常选用轴对齐包围盒，即AABB形式的包围盒，这种包围盒的六个平面都与坐标轴垂直或平行。

在分析三维空间中光线与包围盒求交之前，可以先在二维平面下进行分析。

我们可以对X方向上的两个对面求交点，得到最早进入的时间 $t_{min}$ 和最晚出去的时间 $t_{max}$。

再对Y方向上的两个对面求交点，得到最早进入的时间 $t_{min}$ 和最晚出去的时间 $t_{max}$。

最后取两组时间的并集，就可以得到光线进入二维包围盒的最早时间和最晚时间。

同样拓展到三维空间中，就是三组对面，同样分别计算出光线进入三组对面的时间 $t_{min}$ 和出去的时间 $t_{max}$。

在三维场景中，只有当光线全部进入了三个对面，才认为光线进入了包围盒，并且光线只要离开了任意一个对面，那么就认为光线离开了包围盒。

因此在三维场景中需要求得 $t_{enter} = max(t_{min})$ , $t_{exit} = min(t_{max})$ 。此时：

• 如果 $t_{exit} < 0$ 则包围盒在光线背后，不会与光线产生交点。

• 如果 $t_{exit} \geq 0$ 并且 $t_{enter} < 0$ 则光线在包围盒内部向外照射。会存在交点

• 如果 $t_{exit}$ 和 $t_{enter}$ 都大于零，并且$t_{exit} > $t_{enter}$ 则光线与包围盒有两个交点。

所以光线与包围盒有交点的条件如下：

$$t_{enter} < t_{exit} \&\& t_{exit} \geq 0$$

光线追踪示例

下面是我实现的一个光线追踪的示例，采用的是纯webgl实现。

默认光线最大允许弹射5次（可通过控件修改，每次修改会重新编译着色器，编译会造成短时间卡顿）。

渲染每一帧都会参考上一帧的画面进行混合，所以如果场景发生变动，那么将不再参考上一帧画面(否则会出现重影)，这时画面会变得模糊，当静止下来后画面才会逐渐清晰。